동형 사상

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1. 개요

동형 사상은 범주 C의 사상 f: X → Y에 대해 역 사상이 존재하거나, 단사 및 분할 전사 사상이거나, 전사 및 분할 단사 사상 등과 같은 여러 동치 조건을 만족하는 사상이다. 두 대상 사이에 동형 사상이 존재하면 서로 동형이라고 하며, 시작과 끝이 같은 동형 사상(자기 사상)을 자기 동형 사상이라고 한다. 균형 범주는 전사 단사 사상이 동형 사상인 범주이며, 동형 사상은 전단사 함수인 준동형과 동일하다. 동형인 대상은 같다고 간주될 수 있지만, 등식과 구별해야 한다.

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동형 사상
개요
다섯제곱근의 군은 곱셈 하에서 정오각형의 회전의 군과 동형이다.
정오각형의 회전
정의
동형 사상	두 수학적 대상 간의 구조를 보존하는 가역 함수이다. 좀 더 공식적으로, 두 대상 사이의 사상이며, 해당 대상의 구조에 대한 모든 정보를 특정 방식으로 유지하므로, 대상의 모든 속성이 사상을 통해 해당 대상의 상대방에게 전송될 수 있음을 의미한다. 두 대상이 동형 사상적으로 연결되어 있다면, 관점 상의 변화를 제외하고는 완전히 동일하다.
예시
예시 1	함수 (x) = x^2는 음수가 아닌 실수에서 양의 실수로의 동형 사상이 아니다. (음수가 아닌 실수의 각 숫자에 대한 제곱근은 있지만 양의 실수의 숫자, 특히 1과 4 사이의 숫자에 대한 제곱근은 음수가 아닌 실수가 아니기 때문에).
예시 2	함수 (x) = x^3는 실수 전체에서 실수 전체로의 동형 사상이다. (모든 실수는 세제곱근을 가지기 때문에).

2. 정의

범주 $\mathcal C$ 의 사상 $f\colon X\to Y$ 에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 사상을 '''동형 사상'''이라고 한다.

역사상이 존재한다. 즉, $f\circ g=\operatorname{id}_Y$ , $g\circ f=\operatorname{id}_X$ 인 사상 $g\colon Y\to X$ 가 존재한다.
단사 사상이자 분할 전사 사상이다.
전사 사상이자 분할 단사 사상이다.
단사 사상이자 극단 전사 사상이다.
전사 사상이자 극단 단사 사상이다.

두 대상 사이에 동형 사상이 존재하면, 서로 '''동형'''이라고 한다. 시작과 끝이 같은 동형 사상(즉, 자기 사상인 동형 사상)을 '''자기 동형 사상'''이라고 한다.

군이나 환을 포함한 대부분의 대수적 구조에서, 준동형 사상이 동형 사상이라는 것과 전단사라는 것은 같다.

위상수학에서 사상은 연속 사상을 의미하며, 동형 사상은 동상 사상 또는 쌍연속 사상이라고도 불린다. 해석학에서 사상은 미분 가능한 함수이며, 동형 사상은 미분 동상이라고도 불린다.

'''표준적인 동형 사상'''은 표준적인 사상 가운데 동형인 경우이다. 두 대상이 '''표준적으로 동형'''이라는 것은 이들 사이에 표준적인 동형 사상이 존재한다는 것을 말한다. 예를 들어, 유한 차원 벡터 공간

V

에서 이중 쌍대 공간으로의 표준적인 사상은 표준적인 동형 사상이다. 한편,

V

는 쌍대 공간에 동형이지만, 일반적으로 표준적으로 동형인 것은 아니다.

2. 1. 범주론적 정의

범주

\mathcal C

의 사상

f\colon X\to Y

에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 사상을 '''동형 사상'''이라고 한다.

역사상이 존재한다. 즉, $f\circ g=\operatorname{id}_Y$ , $g\circ f=\operatorname{id}_X$ 인 사상 $g\colon Y\to X$ 가 존재한다.^[7]
단사 사상이자 분할 전사 사상이다.
전사 사상이자 분할 단사 사상이다.
단사 사상이자 극단 전사 사상이다.
전사 사상이자 극단 단사 사상이다.

두 대상 사이에 동형 사상이 존재하면, 서로 '''동형'''이라고 한다. 시작과 끝이 같은 동형 사상(즉, 자기 사상인 동형 사상)을 '''자기 동형 사상'''이라고 한다.

어떤 범주의 사상

f : X \to Y

가 동형 사상이라는 것은 양측 역 사상을 갖는다는 것이다. 즉, 해당 범주 내의 다른 사상

g : Y \to X

가 있어서,

f g = 1_Y

이고

g f = 1_X

가 된다. 여기서

1_X

와

1_Y

는 각각

X

와

Y

의 항등 사상이다.^[7]

2. 2. 균형 범주

범주

\mathcal C

에 대하여, 다음 세 조건은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 범주를 '''균형 범주'''(balanced category^영어)라고 한다.

모든 전사 단사 사상이 동형 사상이다.
모든 단사 사상이 극단 단사 사상이다.
모든 전사 사상이 극단 전사 사상이다.

일반적으로, 단사 사상이자 전사 사상이지만 동형 사상이 아닌 사상들이 존재할 수 있다.

3. 성질

동치 관계를 이루는 서로 동형은 항등 사상이 동형 사상이므로, 모든 대상은 스스로에게 동형이다.

대수 구조 다양체의 구체적 범주의 사상에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.

동형 사상이다.
전단사 함수이다.

즉, 대수 구조 다양체에서 동형 사상은 전단사 함수인 준동형이다.

모든 아벨 범주와 모든 토포스는 균형 범주이다.

3. 1. 동치 관계

서로 동형인 것은 동치 관계를 이룬다. 특히, 항등 사상이 동형 사상이므로, 모든 대상은 스스로에게 동형이다.^[2] 동형 사상의 합성은 동형 사상이 되고, 항등 함수는 동형 사상이며, 동형 사상의 역함수 또한 동형 사상이므로, 두 수학적 대상이 동형이라는 관계는 동치 관계가 된다.^[2]

3. 2. 대수 구조 다양체

대수 구조 다양체의 구체적 범주에서 사상은 다음 두 조건과 서로 동치이다.

동형 사상이다.
전단사 함수이다.

즉, 대수 구조 다양체에서 동형 사상은 전단사 함수인 준동형이다.^[7] 군이나 환을 포함한 대부분의 대수적 구조에서 준동형 사상이 동형 사상이라는 것과 전단사라는 것은 동치이다.^[7]

3. 3. 균형 범주 성질

아벨 범주와 토포스는 균형 범주이다.^[1]

4. 예시

양의 실수 곱셈군 R⁺와 실수 덧셈군 R 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

로그 함수 log : R⁺ → R는 모든 x, y ∈ R⁺에 대해 log(xy) = log x + log y를 만족하므로 군 준동형 사상이다. 지수 함수 exp : R → R⁺는 모든 x, y ∈ R에 대해 exp(x+y) = (exp x)(exp y)를 만족하므로 역시 준동형 사상이다. 항등식 log exp x = x와 exp log y = y는 log와 exp가 서로 역함수 관계임을 보여준다. log는 역함수 또한 준동형 사상인 준동형 사상이므로, 군의 동형 사상이다.

log 함수는 양의 실수 곱셈을 실수 덧셈으로 변환하는 동형 사상이다. 이러한 특징 때문에 자와 로그표를 사용하거나, 로그 눈금이 있는 계산자를 사용하여 실수 곱셈을 수행할 수 있다.^[1]

군 (ℤ₆, +)는 0부터 5까지의 정수를 모듈로 6으로 더하는 군이다. (ℤ₂ × ℤ₃, +)는 순서쌍으로, x 좌표는 0 또는 1(모듈로 2 연산), y 좌표는 0, 1, 2(모듈로 3 연산)로 이루어진 군이다. 이 두 구조는 다음 관계에 따라 덧셈에 대해 동형이다.

(0, 0) ↦ 0
(1, 1) ↦ 1
(0, 2) ↦ 2
(1, 0) ↦ 3
(0, 1) ↦ 4
(1, 2) ↦ 5

일반적으로 (a, b) ↦ (3a + 4b) mod 6으로 표현할 수 있다. 예를 들어 (1, 1) + (1, 0) = (0, 1)은 1 + 3 = 4로 변환된다. 두 군은 서로 다른 원소를 포함하지만 구조는 동일하므로 '''동형'''이다. 순환군 ℤ_m과 ℤ_n의 직적은 m과 n이 서로소일 때 ℤ_mn과 동형이며, 이는 중국인의 나머지 정리에 따른다.

하나의 대상이 이진 관계 R을 가진 집합 X로, 다른 대상이 이진 관계 S를 가진 집합 Y로 구성된 경우, X에서 Y로의 동형 사상은 전단사 함수 f : X → Y이며, S(f(u), f(v))는 R(u, v)일 때만 성립한다.^[1] S가 반사적, 비반사적, 대칭적, 반대칭적, 비대칭적, 추이적, 전체적, 삼분법적, 부분 순서, 전순서, 정렬 순서, 강한 약한 순서, 전체 전순서(약한 순서), 동치 관계 등의 특별한 속성을 가질 때, R도 같은 속성을 가진다.

R이 순서 ≤이고 S가 순서

\scriptstyle \sqsubseteq

인 경우, X에서 Y로의 동형 사상은 전단사 함수 f : X → Y이며, f(u)

\scriptstyle \sqsubseteq

f(v)는 u ≤ v일 때만 성립한다. 이러한 동형 사상을 순서 동형 사상이라 한다. X = Y라면, 이는 관계를 보존하는 자기 동형 사상이다.

범주론에서, 주어진 범주 C에 대해, 동형 사상은 역 사상 g : b → a를 갖는 사상 f : a → b이며, fg = 1_b 및 gf = 1_a이다. 두 범주 C와 D는 서로 역 관계에 있는 함자 F : C → D와 G : D → C가 존재할 때 동형이다. 즉, FG = 1_D (D상의 항등 함자) 및 GF = 1_C (C상의 항등 함자)이다.

동형 사상 종류의 예는 수학에서 다양하게 나타난다.

두 집합 사이에 전단사 함수가 존재하면 두 집합은 동형이다. 유한 집합의 동형 사상 종류는 집합이 포함하는 원소의 수로 식별할 수 있다.
유한 차원 벡터 공간의 동형 사상 종류는 차원으로 식별할 수 있다.
유한 단순군 분류는 모든 유한 단순군의 동형 사상 종류를 열거한다.
닫힌 곡면 분류는 모든 연결된 닫힌 곡면의 동형 사상 종류를 열거한다.
서수는 정렬된 집합의 동형 사상 종류로 정의된다.

그러나 객체의 동형 사상 종류가 객체에 대한 중요한 정보를 숨기는 경우가 있다.

수학적 구조에서, 두 부분 구조가 동일한 동형 사상 종류에 속할 수 있지만, 전체 구조에 포함되는 방식은 다를 수 있다. 예를 들어, 유한 차원 벡터 공간에서 동일한 차원의 모든 선형 부분 공간은 동형이지만, 교집합, 합 등을 고려하려면 구별해야 한다.
사원수 대수는 쿼터니언과 2 × 2 실수 행렬로 구성되며, 환으로 동형이지만, 적용되는 컨텍스트가 다르므로 동형 사상만으로는 개념을 통합하기 어렵다.
호모토피 이론에서, 점 p에서 위상 공간 X의 기본군은 π₁(X, p)로 표시되지만, X가 경로 연결 공간인 경우 π₁(X)로 표기되는 경우가 많다. 두 점 사이의 경로가 존재하면 한 점에서의 루프를 다른 점에서의 루프와 동일시할 수 있기 때문이다. 그러나 π₁(X, p)가 아벨 군이 아닌 경우 이 동형 사상은 고유하지 않다. 덮개 공간의 분류는 π₁(X, p)의 특정 부분군을 참조하며, 동형이지만 켤레류인 부분군을 구별하므로, 동형 사상 종류를 단일 객체로 합치는 것은 이론의 세부 수준을 감소시킨다.

군이나 환을 포함한 대부분의 대수적 구조에 대해, 준동형 사상이 동형 사상이라는 것과 전단사라는 것은 같다. 위상수학에서 사상은 연속 사상을 의미하며, 동형 사상은 동상 사상 또는 쌍연속 사상이라고도 한다. 해석학에서 사상은 미분 가능한 함수이며, 동형 사상은 미분 동상이라고도 한다.

'''표준적인 동형 사상'''은 동형인 표준적인 사상이다. 두 대상이 '''표준적으로 동형'''이라는 것은 이들 사이에 표준적인 동형 사상이 존재한다는 것을 의미한다. 예를 들어, 유한 차원 벡터 공간 V에서 이중 쌍대 공간으로의 표준적인 사상은 표준적인 동형 사상이다. V는 쌍대 공간에 동형이지만, 일반적으로 표준적으로 동형인 것은 아니다.

동형 사상은 범주론을 사용하여 형식화된다. 어떤 범주의 사상 f : X → Y가 동형 사상이라는 것은 양측 역 사상을 갖는다는 것이다. 즉, 해당 범주 내의 다른 사상 g : Y → X가 있어서 gf = 1_X이고 fg = 1_Y가 된다. 여기서 1_X와 1_Y는 각각 X와 Y의 항등 사상이다.^[7]

1의 5제곱근이 곱셈에 대해 이루는 군은 정오각형의 회전이 합성에 대해 이루는 군에 동형이다.

4. 1. 다양한 범주

집합과 함수의 범주 $\operatorname{Set}$ 에서, 동형 사상은 전단사 함수이다.
대수 구조 다양체(군, 환, 가군 등)의 범주에서, 동형 사상은 전단사 함수인 준동형이다.
위상 공간과 연속 함수의 범주 $\operatorname{Top}$ 에서, 동형 사상은 위상 동형 사상이다.
위상 공간과 호모토피류들의 범주 $\operatorname{hTop}$ 에서, 동형 사상은 호모토피 동치이다.
매끄러운 다양체의 범주에서, 동형 사상은 미분 동형 사상이다.

4. 2. 군, 준군, 모노이드

준군은 정의에 따라 모든 사상이 동형 사상이다. 특히, 군을 하나의 대상만을 갖는 범주로 간주할 때 모든 사상은 동형 사상이다.^[7]

모노이드를 하나의 대상만을 갖는 범주로 간주할 때, 동형 사상은 가역원이다.^[7]

4. 3. 균형 범주 예시

위상 공간의 범주는 균형 범주가 아니다. 이 범주에서 전사 단사 사상은 전단사 함수인 연속 함수인데, 이는 위상 동형 사상보다 더 약한 조건이다.^[7] 그러나 콤팩트 하우스도르프 공간의 범주는 균형 범주이다.

군의 범주는 균형 범주이다.

환의 범주는 균형 범주가 아니다. 예를 들어, 포함 사상

\mathbb Z\hookrightarrow\mathbb Q

는 전사 사상이며 단사 사상이지만, 동형 사상이 아니다.^[7]

4. 4. 갈루아 이론

임의의 갈루아 확대

M/K

및 갈루아 부분 확대

L/K

에 대하여, 다음 함수는 위상군의 동형 사상이다.^[7]

:

\operatorname{Gal}(M/K)/\operatorname{Gal}(M/L)\to\operatorname{Gal}(L/K)

:

\sigma\mapsto\sigma|_L

임의의 체의 확대

M/K

및 갈루아 부분 확대

L/K

및 부분 확대

L'/K

에 대하여,

LL'/L'

및

L/L\cap L'

은 갈루아 확대이며, 다음 함수는 위상군의 동형 사상이다.^[7]

:

\operatorname{Gal}(LL'/L')\to\operatorname{Gal}(L/L\cap L')

:

\sigma\mapsto\sigma|_L

임의의 체의 확대

M/K

및 갈루아 부분 확대

L/K

및

L'/K

에 대하여,

LL'/K

역시 갈루아 확대이며, 다음 함수는 위상군의 매장이다.^[7] 만약

L\cap L'=K

라면, 이는 위상군의 동형 사상이다.^[7]

:

\operatorname{Gal}(LL'/K)\to\operatorname{Gal}(L/K)\times\operatorname{Gal}(L'/K)

:

\sigma\mapsto(\sigma|_L,\sigma|_{L'})

5. 응용

선형대수학에서 벡터 공간 사이의 선형 동형 사상은 가역 행렬로 나타낼 수 있다. 군 간의 군 동형 사상은 군의 구조를 보존하며, 유한군의 동형류 분류는 아직 미해결 문제이다. 환 간의 환 동형 사상은 환의 구조를 보존하며, 체 동형 사상은 갈루아 이론에서 중요한 역할을 한다.

그래프 이론에서 두 그래프 간의 동형 사상은 정점과 엣지(변) 구조를 보존하는 전단사 함수이다. 순서 이론에서 순서 동형 사상은 부분 순서 집합 간의 순서 구조를 보존하는 전단사 함수이다. 예를 들어, '인수'(is-a-factor-of) 관계의 정수 집합 {1, 2, 3, 6}은 '기증 가능'(can-donate-to) 관계의 ABO식 혈액형 집합 {''O'', ''A'', ''B'', ''AB''}과 동형이다.

수학적 분석에서 라플라스 변환은 미분 방정식을 더 쉬운 대수 방정식으로 변환하는 동형 사상이며, 두 힐베르트 공간 사이의 동형 사상은 덧셈, 스칼라 곱, 내적을 보존한다. 사이버네틱스에서 코난트-애시비 정리는 조절기와 시스템 처리 부분 간에 동형 사상이 필요함을 명시한다.

5. 1. 선형대수학

벡터 공간 사이의 선형 동형 사상은 가역 행렬로 지정된다.

5. 2. 군론

군 동형 사상은 군의 구조를 보존하는 특별한 함수이다. 유한군의 경우, 동형인 군들은 완전히 같은 구조를 가진다고 볼 수 있다. 이러한 동형 사상을 통해 군들을 분류할 수 있는데, 유한군의 동형류를 완전히 분류하는 문제는 아직 해결되지 않았다.^[1]

예를 들어, 양의 실수의 곱셈군

\R ^+

와 실수의 덧셈군

\R

을 생각해보자. 로그 함수

\log : \R^+ \to \R

는 모든

x, y \in \R^+,

에 대해

\log(xy) = \log x + \log y

를 만족시키고, 지수 함수

\exp : \R \to \R^+

는 모든

x, y \in \R,

에 대해

\exp(x+y) = (\exp x)(\exp y)

를 만족시킨다. 이 두 함수는 서로 역함수 관계이므로,

\log

는 군 동형 사상이다. 로그 함수는 양의 실수 곱셈을 실수 덧셈으로 변환하기 때문에, 자와 로그 표, 또는 로그 눈금이 있는 계산자를 사용하여 곱셈을 덧셈으로 바꾸어 계산할 수 있게 해준다.

또 다른 예로, 0부터 5까지의 정수를 모듈로 6으로 더하는 군

(\Z_6, +)

과, x좌표는 모듈로 2, y좌표는 모듈로 3으로 더하는 순서쌍들의 군

\left(\Z_2 \times \Z_3, +\right)

을 들 수 있다. 이 두 군은 다음 대응에 의해 동형이다.

$\left(\Z_2 \times \Z_3, +\right)$	$(\Z_6, +)$
(0, 0)	0
(1, 1)	1
(0, 2)	2
(1, 0)	3
(0, 1)	4
(1, 2)	5

일반적으로 $(a, b) \mapsto (3 a + 4 b) \mod 6$ 으로 표현할 수 있다. 두 군은 겉보기에는 달라 보이지만, 구조적으로는 완전히 같다. 더 일반적으로, 순환군 $\Z_m$ 과 $\Z_n$ 의 직적은 ''m''과 ''n''이 서로소일 때 중국인의 나머지 정리에 의해 $(\Z_{mn}, +)$ 와 동형이다.

5. 3. 환론 및 체론

환 간의 환 동형 사상은 환의 구조를 보존하는 함수이다. 체 동형 사상은 체 간의 환 동형 사상과 동일하다. 체 동형 사상, 특히 체 자기 동형 사상의 연구는 갈루아 이론에서 중요한 역할을 한다.

5. 4. 그래프 이론

그래프 이론에서, 두 그래프 ''G''와 ''H'' 간의 동형 사상은 ''G''의 정점에서 ''H''의 정점으로 가는 전단사 맵 ''f''이며, "엣지 구조"를 보존한다. 즉, ''G''에서 정점 ''u''에서 정점 ''v''로 가는 엣지가 있는 경우에만 ''H''에서 f(u)에서 f(v)로 가는 엣지가 있다. 더 자세한 내용은 그래프 동형 사상 문서를 참조하면 된다.

5. 5. 순서 이론

순서론에서, 두 부분 순서 집합 ''P''와 ''Q'' 사이의 순서 동형 사상은 ''P''에서 ''Q''로의 전단사 함수

f

이며, 순서 구조를 보존한다. 즉, ''P''의 모든 원소

x

와

y

에 대해 ''P''에서

x

가

y

보다 작은 경우에만 ''Q''에서

f(x)

가

f(y)

보다 작다.^[1]

예를 들어, 'is-a-factor-of'(~의 인수) 관계에 의해 정렬된 정수 집합 {1, 2, 3, 6}은 'can-donate-to'(~에게 기증할 수 있는) 관계에 의해 정렬된 ABO식 혈액형 집합 {''O'', ''A'', ''B'', ''AB''}과 동형이다.

좀 더 구체적으로, R이 순서 ≤이고 S가 순서

\scriptstyle \sqsubseteq

인 경우, ''X''에서 ''Y''로의 순서 동형 사상은 전단사 함수

f : X \to Y

이며 다음을 만족한다.^[1]

:

f(u) \sqsubseteq f(v) \quad \text{ if and only if } \quad u \leq v.

5. 6. 해석학

수학적 분석에서 라플라스 변환은 어려운 미분 방정식을 더 쉬운 대수 방정식으로 변환하는 동형 사상이다.^[1]

두 힐베르트 공간 사이의 동형 사상은 덧셈, 스칼라 곱, 그리고 내적을 보존하는 전단사이다.

5. 7. 사이버네틱스

좋은 조절기 정리 (코난트-애시비 정리)에 따르면, "시스템의 모든 좋은 조절기는 해당 시스템의 모델이어야 한다"라고 명시되어 있다. 규제되든 자체 규제되든, 조절기와 시스템 처리 부분 간에는 동형 사상이 필요하다.

6. 동형 대 전단사 준동형

구체적 범주(대략적으로, 대상이 집합이고 사상이 구조를 보존하는 함수인 범주)에서, 위상 공간의 범주나 군의 범주, 환의 범주, 가군 범주와 같은 대수적 대상의 범주에서 동형 사상은 기저 집합에 대해 전단사여야 한다. 보편 대수학에서 다양체의 범주와 같은 대수적 범주에서는 동형 사상이 기저 집합에 대해 전단사 함수인 준동형 사상과 동일하다. 그러나 전단사 사상이 반드시 동형 사상인 것은 아닌 구체적 범주가 존재하는데, 위상 공간의 범주가 그 예이다.^[7]

7. 등식과의 관계

동형인 대상은 같다고 간주될 수 있지만, 등식과 동형 사상은 구별해야 한다.^[3] 등식은 두 대상이 완전히 같을 때 성립하며, 한 대상에 대해 참인 모든 것은 다른 대상에 대해서도 참이다. 반면, 동형 사상은 특정 구조와 관련이 있으며, 두 동형인 대상은 이 구조와 관련된 속성만 공유한다.

예를 들어, 다음 두 집합을 생각해 보자.

: $A = \left\{ x \in \Z \mid x^2 < 2\right\} \quad \text{ and } \quad B = \{-1, 0, 1\}$

이 두 집합은 같다. 왜냐하면 이들은 단지 다른 표현일 뿐이기 때문이다. 첫 번째는 내포적 (집합 표기법)이고, 두 번째는 외연적(명시적인 열거)이지만, 결국 같은 정수의 부분 집합을 나타낸다.

반면, 집합 $\{A, B, C\}$ 와 $\{1, 2, 3\}$ 는 같은 원소를 가지고 있지 않으므로 같지 않다. 이들은 집합으로서 동형이지만, 이들 사이에는 여러 동형 사상(6개)이 존재한다. 예를 들어,

: $\text{A} \mapsto 1, \text{B} \mapsto 2, \text{C} \mapsto 3,$

또는

: $\text{A} \mapsto 3, \text{B} \mapsto 2, \text{C} \mapsto 1,$

과 같이 여러 가지 방법으로 대응시킬 수 있으며, 어떤 동형 사상이 본질적으로 다른 것보다 낫다고 할 수 없다.^[4] 따라서 이 두 집합은 동일하다고 간주할 수 없기 때문에 같지 않다. 이들 사이의 동형 사상을 선택할 수는 있지만, 이는 동일성보다 약한 주장이며, 선택된 동형 사상의 맥락에서만 유효하다.

정수와 짝수는 순서 집합과 아벨 군(덧셈의 경우)으로 동형이지만, 서로 다른 집합의 진부분집합이므로 같은 집합으로 간주될 수 없다.

반면에, 집합(또는 다른 수학적 대상)이 원소의 성질을 고려하지 않고 속성만으로 정의될 때는 종종 같다고 간주한다. 이것은 일반적으로 보편 성질의 해답에서 나타난다.

예를 들어, 유리수는 일반적으로 정수의 쌍의 동치류로 정의되지만, 아무도 유리수를 집합(동치류)으로 생각하지 않는다. 유리수의 보편 성질은 본질적으로 정수를 포함하고 적절한 부분 필드를 포함하지 않는 체를 형성한다는 것이다. 이러한 속성을 가진 두 개의 체가 주어지면, 이들 사이에 고유한 체 동형 사상이 존재한다. 이를 통해 이 두 체를 식별할 수 있는데, 그 이유는 그들 중 하나의 모든 속성이 동형 사상을 통해 다른 체로 이전될 수 있기 때문이다. 예를 들어, 두 정수를 나눔으로써 얻은 실수 (실수 내에서)는 실수의 가장 작은 부분 필드를 형성한다. 따라서 유리수(쌍의 동치류로 정의됨)에서 두 실수(정수)의 몫으로의 고유한 동형 사상이 존재한다. 이를 통해 이 두 종류의 유리수를 식별할 수 있다.

수학의 특정 분야, 특히 범주론에서는 같음과 동형을 구별하는 것이 중요하다. 같다는 것은 두 대상이 완전히 동일하다는 것을 의미하며, 한 대상에 대해 참인 모든 것은 다른 대상에 대해서도 참이다. 반면에 동형은 한 대상의 구조의 특정 부분에 대해 참인 모든 것이 다른 대상에 대해서도 참임을 의미한다. 예를 들어,

집합

: $A = \{ x \in \mathbb{Z} \mid x^2 < 2\}$ 와 $B = \{-1, 0, 1\} \,$

은 같다. 그들은 정수의 동일한 부분 집합이지만 표현이 다를 뿐이다. 전자는 내포적 정의(집합 표기법)이고, 후자는 외연적 정의(명시적인 열거)이다. 반대로 집합 와 은 같지 않다. 전자의 원소는 문자이지만 후자의 원소는 숫자이다. 이들은 집합으로서 동형이다. 왜냐하면 유한 집합은 농도 (원소의 개수)에 의해 동형을 제외하고 결정되며, 이들은 모두 3개의 원소를 가지고 있기 때문이다. 그러나 동형 사상을 선택하는 방법은 많다.

하나의 동형 사상은

: $\text{A} \mapsto 1, \,\text{B} \mapsto 2, \,\text{C} \mapsto 3$

이고, 다른 동형 사상은

: $\text{A} \mapsto 3, \,\text{B} \mapsto 2, \,\text{C} \mapsto 1$

이며, 어떤 하나의 동형 사상이 본질적으로 다른 것보다 더 좋다고 할 수는 없다.^[9]^[10] 이 관점과 의미에서, 이 두 집합은 "동일"하다고 생각할 수 없기 때문에 같지 않다. 그들 사이의 동형을 선택할 수 있지만, 이것은 동일함보다 약한 주장이며, 선택된 동형의 문맥에서만 유효하다.

유한 차원 벡터 공간 와 에서 그 계수체 로의 선형 사상의 쌍대 공간 과의 구별을 보면, 이 공간은 동일한 차원을 가지므로 추상적인 벡터 공간으로 동형이지만 동형 사상 $V \, \overset{\sim}{\to} \, V^*$ 의 "자연"스러운 선택은 존재하지 않는다. 의 기저를 선택하면, 이것은 동형을 생성한다.

모든 에 대해,

: $v \ \overset{\sim}{\mapsto} \ \phi_v \in V^* \quad \text{such that} \quad \phi_v(u) = v^\mathrm{T} u$ .

이것은 열 벡터 (의 원소)를 전치로 행 벡터 (의 원소)로 변환하는 것에 해당하지만, 다른 기저를 선택하면 다른 동형을 제공한다. 동형은 "기저의 선택에 의존"한다. 더 미묘한 것은, 벡터 공간 에서 그 이중 쌍대 로의 기저의 선택에 의존하지 않는 사상이 ''존재''한다.

모든 와 에 대해,

: $v \ \overset{\sim}{\mapsto} \ x_v \in V^{**} \quad \text{such that} \quad x_v(\phi) = \phi(v).$

이것은 세 번째 개념인 자연 동형을 유도한다. 와 는 다른 집합이지만, 그들 사이의 동형 사상의 "자연"스러운 선택이 존재한다. "임의의 선택에 의존하지 않는 동형 사상"이라는 이 직관적인 개념은 자연 변환의 개념에서 공식화된다.

참조

_[1] 서적 A Course in Algebra https://books.google[...] American Mathematical Society
_[2] 서적 Category theory Oxford University Press
_[3] 간행물
_[4] 문서
_[5] 문서
_[6] 문서 逆関数ではない
_[7] 서적 Category theory https://books.google[...] Oxford University Press
_[8] 서적 A Course in Algebra https://books.google[...] American Mathematical Society
_[9] 문서
_[10] 문서
_[11] 문서

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